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Math and Physics

抽象代数基本概念总结 [0-1] 群环域的定义和简单性质

定义1:
\(\quad\)\(\quad\)\(A\)是一个非空集合,集合积 \(A\times A={(a,b)|a,b\in A}\)到\(A\)的一个映射就称为\(A\)的一个代数运算。也常称为\(A\)的一个二元运算,或简称为\(A\)的一个运算。

定义2(域):
\(\quad\)\(\quad\)设\(F\)是至少包含两个元的集合,在\(F\)中有一个代数运算,称作加法;这就是说,对\(F\)中任意两个元\(a,b\),有\(F\)中唯一一个元\(c\)与之对应,称为\(a\)与\(b\)的,并记为\(c=a+b\)。在\(F\)中还有另一个代数运算叫做乘法,即对\(F\)中任意两个元\(a,b\),有\(F\)中唯一一个元\(c\)与之对应,称为\(a\)与\(b\)的,并记为\(d=ab\)。如果\(F\)的这两个运算还满足

(Ⅰ)
\(\quad\)\(\quad\)1.加法交换律 \(\quad a+b=b+a,\quad \forall a,b\in F.\)
\(\quad\)\(\quad\)2.加法结合律 \(\quad (a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in F.\)
\(\quad\)\(\quad\)3.\(F\)中有一个零元\(0\)满足 \(\quad a+0=a,\quad \forall a\in F.\)
\(\quad\)\(\quad\)4.对\(F\)中任意元\(a\),有\(F\)的元\(b\),使得\(a+b=0\),\(b\)称为\(a\)的一个负元

(Ⅱ)
\(\quad\)\(\quad\)1.乘法交换律 \(\quad ab=ba,\quad \forall a,b\in F.\)
\(\quad\)\(\quad\)2.乘法结合律 \(\quad (ab)c=a(bc),\quad \forall a,b,c\in F.\)
\(\quad\)\(\quad\)3.\(F\)中有一个单位元\(1\)满足 \(\quad a1=1a=a,\quad \forall a\in F.\)
\(\quad\)\(\quad\)4.对\(F\)中任意非零元\(a\),有\(F\)的元\(b\),使得\(ab=ba=1\),称\(b\)为\(a\)的一个逆元

(Ⅲ)
\(\quad\)\(\quad\)乘法对加法的分配律
\begin{align}
a(b+c)=&ab+ac\\
(b+c)a=&ba+ca,\quad \forall a,b,c\in F
\end{align}
这时我们称\(F\)为一个

定义3(环):
\(\quad\)\(\quad\)设\(R\)是非空集合,在\(R\)上有两个代数运算,分别称为加法和乘法。如果加法满足定义2中Ⅰ的全部4条性质,Ⅱ中的性质2及3,并满足Ⅲ,这时\(R\)称为一个

注意:
\(\quad\)\(\quad\)(1)环中不要求有多于两个元;(2)环中乘法不要求满足交换律;(3)有些地方定义的环不要求有乘法单位元,比这里的定义更广;(4)环中即使有乘法单位元,也不一定对每个非零元都有逆元。
定义4(群):
\(\quad\quad\)设\(G\)是非空集合,在\(G\)上有一个代数运算,叫做乘法,对\(G\)的任意两个元\(a,b\),其运算结果\(c\)称为\(a\)与\(b\)的积,记为\(c=ab\),如果还满足
\(\quad\quad\)1.结合律:\((ab)c=a(bc),\quad\forall a,b,c\in G.\)
\(\quad\quad\)2.有单位元\(e\),使得\(ea=ae=a,\quad\forall a\in G.\)
\(\quad\quad\)3.对每个\(a\in G\),有\(b\in G\),使\(ab=ba=e\),\(b\)称为\(a\)的一个逆元
则称\(G\)为一个
\(\quad\)\(\quad\)当群\(G\)的运算满足交换律时,称\(G\)为交换群。这时也常把其运算记成加法,并称它是一个加(法)群。加群中零元相当于乘法群中的单位元,而负元相当于乘法群中的逆元。
\(\quad\quad\bullet\)群\(G\)中的单位元唯一,对任意\(a\in G\),\(a\)的逆元唯一。如\(G\)是加群,则\(G\)的零元唯一,任意元的负元唯一。
\(\quad\quad\bullet\)群\(G\)满足消去律:设\(a,b,z\in G\),若\(ab=ac\)或\(ba=ca\),则有\(b=c\)。对加群\(G\),满足加法消去律:\(\forall a,z,c\in G\),若\(a+b=a+c\),则\(b=c\)。
\(\quad\quad\bullet\)域\(F\)的零元、负元、单位元、逆元都有唯一性。加法满足消去律,乘法当\(a\neq 0\)时满足消去律。
\(\quad\quad\bullet\)环\(R\)的零元、负元、单位元具有唯一性。加法满足消去律,无乘法消去律。

定义5:
\(\quad\quad R\)是环,\(a\in R,a\neq 0\),若有\(b\neq 0\)使\(ab=0\)(或\(ba=0\)),则称\(a\)是R中的一个左(或右)零因子

命题1:
\(\quad\quad\)\(F\)是域,则\(F\)对于自身的加法构成一个交换群,而\(F^*=F\backslash{0}\)对于\(F\)的乘法运算也成为一个交换群。

定义6(半群、幺半群):
\(\quad\quad\)非空集合\(S\)上有一个代数运算称为乘法,适合结合律,就称为半群。若此运算有单位元,则称\(S\)为幺半群
\(\quad\quad\bullet\)域在其乘法下成为幺半群。

命题2(广义结合律):
\(\quad\quad\)设\(S\)是一个半群,\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)是\(S\)中\(n\)个元的一个序列,对这个序列组合多次乘法运算所得到的乘积都是相等的。

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